海盗分金币:100金币应该如何分配5个海盗。但如果有500个海盗呢?

海盗分金币 

初级演练:5个海盗100个金币

5个海盗抢得100枚金币后,讨论如何进行公正分配。他们商定的分配原则是: 

(1)抽签确定各人的分配顺序号码(1,2,3,4,5); 

(2)由抽到1号签的海盗提出分配方案,然后5人进行表决,如果方案得到超过半数的人同意,就按照他的方案进行分配,否则就将1号扔进大海喂鲨鱼; 

(3)如果1号被扔进大海,则由2号提出分配方案,然后由剩余的4人进行表决,当且仅当超过半数的人同意时,才会按照他的提案进行分配,否则也将被扔入大海; 

(4)依此类推。 

这里假设每一个海盗都是绝顶聪明而理性,他们都能够进行严密的逻辑推理,并能很理智的判断自身的得失,即能够在保住性命的前提下得到最多的金币。同时 还假设每一轮表决后的结果都能顺利得到执行,那么抽到1号的海盗应该提出怎样的分配方案才能使自己既不被扔进海里,又可以得到更多的金币呢?

5海盗带分金币的逻辑


这个题的解答思路要反推,突破口在 “方案仅当超过半数的人同意” 的时候才能通过,否侧死。 

首先假设只剩下最后两个人的时候,假设1 2 3号已经死了,接下来是4号,除非4号的方案是把100金币全部给5号,才可能让5号看在多年情分上饶他一命。 

所以,我们回头假设1 2号死了,剩下3 4 5号, 

当对3的方案表决时,4肯定、而且要保命的话也只能支持3,否则如前面分析,4的生命取决于5的心情。 

因此,如果1,2死了,3的方案肯定是独吞100个金币,自己肯定赞同。 

4很悲催,此时4,5都没有收入,无论现在4号同意还是不同意,都拿不到钱,还可能丢掉小命。 

5肯定也想到了这些,4不可能让这个游戏进行到4,5两人对垒的时候 

3号在有希望独吞100金币,同时没有任何风险的时候,3号必定会不顾一切地反对1,2的方案; 

所以,1和2的方案中可以适当可以贿赂4和5从而得到他们的支持。 

我们再往前一步, 

如果1死了,2的方案肯定是98,0,1,1,如上面所分析,一定会通过。 

所以1的最优方案为 96,0,0,2,2,会通过。 

P.S,如果你够狠,98,0,0,1,1 也可以,有可能通过(不保证,4,5反正都是1个金币,看4,5的心情和平时关系如何了)。



问题拓展,500个海盗分100个金币


 “500个海盗分100金币 (金币是完整的无法切割,分得的金币只能是整数)  ” 

另外这个题目是我是从逻辑推理500趣味题看到的,我反正目前没有在网上搜索到关于这个问题的解法。。。 

Omohundro的贡献是他把这一问题扩大到从5个海盗到500名海盗的情形,即500名海盗瓜分100块金子。显然,类似的规律依然成立——至少是在一定范围内成立。事实上,前面所述的规律直到第 200 个海盗都成立。 200号海盗的方案将是:从1到199号的所有奇数号的海盗都将一无所获,而从2到198号的所有偶数号海盗将各得1块金子,剩下的1块金子归200号海盗自己所有。 


乍看起来,这一论证方法到200号之后将不再适用了,因为201号拿不出更多的金子来收买其他海盗。但是即使分不到金子,201号至少还希望自己不会被扔进海里,因此他可以这样分配:给1到199号的所有奇数号海盗每人1块金子,自己一块也不要。 


202号海盗同样别无选择,只能一块金子都不要了——他必须把这100块金子全部用来收买100名海盗,而且这100名海盗还必须是那些按照201号方案将一无所获的人。由于这样的海盗有101名,因此202号的方案将不再是唯一的——贿赂方案有101种。 


203号海盗必须获得102张赞成票,但他显然没有足够的金子去收买101名同伙。因此,无论提出什么样的分配方案,他都注定会被扔到海里去喂鱼。不过,尽管203号命中注定死路一条,但并不是说他在游戏进程中不起任何作用。相反,204号现在知道,203号为了能保住性命,就必须避免由他自己来提出分配方案这么一种局面,所以无论204号 


海盗提出什么样的方案,203号都一定会投赞成票。这样204号海盗总算侥幸拣到一条命:他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及另外100名收买的海盗的赞成票,刚好达到保命所需的50%。获得金子的海盗,必属于根据202号方案肯定将一无所获的那101名海盗之列。 


205号海盗的命运又如何呢?他可没有这样走运了。他不能指望203号和204号支持他的方案,因为如果他们投票反对205号方案,就可以幸灾乐祸地看到205号被扔到海里去喂鱼,而他们自己的性命却仍然能够保全。这样,无论205号海盗提出什么方案都必死无疑。206号海盗也是如此——他肯定可以得到205号的支持,但这不足以救他一命。

类似,207号海盗需要104张赞成票——除了他收买的100张赞成票以及他自己的1张赞成票之外,他还需3张赞成票才能免于一死。他可以获得205号和206号的支持,但还差一张票却是无论如何也弄不到了,因此207号海盗的命运也是下海喂鱼。 


208号又时来运转了。他需要104张赞成票,而205、206、207号都会支持他,加上他自己一票及收买的100票,他得以过关保命。获得他贿赂的必属于那些根据204号方案肯定将一无所获的人(候选人包括2到200号中所有偶数号的海盗、以及201、203、204号)。 


现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律:那些方案能过关的海盗(他们的分配方案全都是把金子用来收买100名同伙而自己一点都得不到)相隔的距离越来越远,而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里——因此为了保命,他们必会毫不犹豫地投票支持比他们厉害的海盗提出的 任何 方案,以免越轮越后丧命几率不断增加。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号,即其号码等于200加2的某一次方的海盗。 


现在我们来看看哪些海盗是获得贿赂的幸运儿。分配贿赂的方法是不唯一的,其中一种方法是让201号海盗把贿赂分给1到199号的所有奇数编号的海盗,让202号分给2到200号的所有偶数编号的海盗,然后是让204号贿赂奇数编号的海盗,208号贿赂偶数编号的海盗,如此类推,也就是轮流贿赂奇数编号和偶数编号的海盗。 


结论是:当500名海盗运用最优策略来瓜分金子时,头44名海盗必死无疑,而456号海盗则给从1到199号中所有奇数编号的海盗每人分1块金子,问题就解决了。由于这些海盗所实行的那种民主制度,如果是按强弱来决定排位,他们的事情就搞成了最厉害的一批海盗多半都是下海喂鱼,不过有时他们也会觉得自己很幸运——虽然分不到抢来的金子,但总可以免于一死。只有最怯懦的200名海盗有可能分得一份脏物,而他们之中又只有一半的人能真正得到一块金子,的确是怯懦者继承财富。

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